为什么说麦克斯韦方程组描述了一切的电磁现象？最基础的物理理论如何实现为最尖端的工程技术？三相电动机是如何工作的？8月30日12时，《张朝阳的物理课》特别节目播出，搜狐创始人、董事局主席兼CEO、物理学博士张朝阳首次在新能源车内直播物理课，剖析电动力学在现代科技特别是汽车工程上的应用。
张朝阳首先回顾了麦克斯韦方程组的张量形式和矢量形式，并从矢量形式推出了中学物理常用的电磁感应定律。其后，他还利用电磁感应定律解读了三相电机的工作原理，并求算了电机输出扭矩和功率随转速的变化，解释了为何电车总在低速时有劲、高速时乏力。
麦克斯韦方程组描述所有电磁过程
麦克斯韦方程组是十九世纪最伟大的理论物理学成就，它以相当简洁的数学形式，统一了在当时表面上各自分治的电学、磁学与光学，并隐隐导向了半个世界后影响更为深远的相对论。利用矢量分析的语言，麦克斯韦发现的规律可以总结为两组四条方程。之一组是有源方程
即高斯定律与安培-麦克斯韦定律。公式中中ρ为电荷密度，而J为电流密度。ε0与μ0分别为真空介电、介磁常数，它们的乘积的倒数恰好等于光速的平方c²。在前几节课程中，张朝阳已经分享过，如果进一步利用张量的语言，它们还可以被改写为一种更简洁、更“凡尔赛”的形式
等号右边的源已被写为四维形式
剩下两条方程是无源的
它们对应电磁张量的比安基恒等式（Bianchi identity）
其中下标α、β、γ是0到3中的任意三个数。
电磁张量的逆变和协变形式分别为
和
在张量形式中代入电磁张量的具体分量进行直接计算，可以将其整理为矢量方程的形式，不难验证二者的等价性。具体的推导过程已在前两节课中详细讲解，再次不再赘述。
而今天的关注点将落在被称为法拉第（Faraday）电磁感应定律的公式(\*)，其实我们早在中学物理中接触过它。为了将它写为更令人熟悉的形式，考虑如图一个简单的电路，它是由电池和电阻R组成的回路。
在电路中，可以认为电场只存在于导线中，方向永远与导线平行。电路的行为同样应当由麦克斯韦方程组来描述，满足法拉第电磁感应定律。考虑将导线中的电场沿整个电路积分，其中 dl 方向如图所示，利用斯托克斯定理，有
等号右边为在以电路为边界的某一曲面上的积分。利用法拉第电磁感应定律，上式又可以写为
在之一个等号交换了积分和求偏导的次序，剩下的积分部分是感应磁场的磁通量Φ_ind。
而最左边的环路积分结果可以理解为：电路中的某电子绕电路一圈感受的电压变化。从左上角开始顺时针绕转，可以看到它首先经过一个电阻。电阻起源源于金属晶格与电子碰撞，在宏观上将表现为电压降低。其后经过电池，电池通过将化学能转换为电能，激励电子运动，张朝阳形容为电池会“将电子掰上去”。于是，即有
或重新整理为
这里用小写字母 i 来指代交变电流。这一公式可以类比于中学物理中学过的欧姆定律，不同的是，在欧姆定律一般只适用于恒稳电流。在输入的是交变电流 i 时，由于电磁感应现象，公式中会出现额外的压降。
（张朝阳从麦克斯韦方程组推导电磁感应定律）
理论联系实际 从电动力学到三相电机
张朝阳认为，学物理要“知其然，更知其所以然”。对物理现象要从本质上去理解，要从基本理论出发。在上面一节中，我们从电磁场的四维理论，联系到在日常感知中时间+三维空间的矢量分析形式，再由此推导到更为使用的电压方程(**) 。这一系列推导过程，其实正是理论联系实际的过程。麦克斯韦方程组是基本理论，以统一的视角描述了自然规律。而电压方程是其推论，但直接联系三相电机实际工作过程。
三相电机是电能和机械能间的桥梁，最简单的三相电机由两部分组成。之一部分是“圆筒状”的定子，定子上会按一定方式绕上三组线圈。从横截面看，之一组线圈水平放置（如图），假设电流右进左出，将感应出一个向上的磁场。
接下来旋转在60°和120°处，再加入两组线圈，假设电流都从上半圆处流入，下半圆处流出，三组线圈将诱导出三个磁场相差120°对称分布的磁场。
在电机接受电能输出机械能时，三组线圈中将分别通入三股相位为0°、120°以及240°的交变电流。
所谓交变电流，即电流的大小会随时间变换，方向也可能会改变。典型的交变电流时正弦变化的
其中φ即为电流的相位。可以这样来理解交变电流的作用。比如初始时刻，水平放置的线圈组中电流达到峰值，此时由于存在相位差别，可以认为其他两股线圈中的电流较弱，定子中的磁场竖直向上。其后一段时间后，电流相位变化了120°，下一组线圈中的电流到达峰值，定子中的磁场方向与将与初始时刻也相差120°。不难理解到，三相交流电将在定子中感应出了一个随时间旋转的磁场。
三相电机的另一部分被称为转子，它是一个磁铁块。为简单起见，可以用如图所示的、带方向的磁矩 μ 来描述它。转子被放置在定子中，中心点落于“圆筒”的中轴上。当磁矩方向与定子中的诱导磁场方向形成一个大小为θ的夹角时，磁铁会感受到一个力矩
这次力矩会转动磁铁，使其倾向于与磁场方向平行。如果利用机械结构将这个力矩传出去，我们就说这个电机输出一个扭矩（Torque）。如果电机被安装在汽车上，这个扭矩就会驱动汽车前行。
（张朝阳解析三相电机的工作原理）
三相电机的特性：低速大扭矩 高速缺扭矩
接下来可以再来分析一下电机工作时线圈的电流电压变化。为了简单起见，首先考虑将转子去掉的情况，以及仅专注与一组线圈中的电流电压变化。已知输入的电流电压都是正弦形式的
单组线圈感应产生的磁场强度应正比于输入电流的强度，随时间振荡变化。但注意到定子中的旋转磁场事实上是三组线圈叠加出来的结果，此时可以认为叠加磁场强度直接正比于电流峰值强度 I_0，而旋转角速度恰等于电流变化的圆频率。设比例系数为k_B，并假设初始时刻旋转磁场方向与线圈所处平面垂直，有
这里S为线圈围成的面积。代入电压方程，得到
不难推出电流也应呈同频率的正弦形式，记为
回代入方程，可以得到峰值之间的关系为
线圈一般采用小电阻的金属制成，不难发现， 此时导线上的电流会相当大，以至于定子中的交变磁场会不断向外发射电磁波，耗散能量。
如果在定子中放入转子，线圈还会额外感受到转子的磁场，总的磁通量应当是感应磁场和转子磁场之和。从力矩公式不难推知，转子的磁矩与定子的感应磁场保持垂直时，力矩达到更大值。考虑在初始时刻（如下图黑色箭头），定子的磁场恰好垂直于线圈所在的平面，而转子的磁场恰好落在线圈所在平面上。此时，转子磁场对磁通量没有贡献，定子磁场的磁通量达到更大值。
下一时刻，感应磁场旋转出一定角度，同时理想情况下转子所受力矩会使其跟着磁场一起旋转，使得两者的磁场方向保持垂直。此时，转子贡献的磁通量不再为零，而是取到了一个小的负值。由于转子的磁场也是一个旋转磁场，它对线圈的磁通量应当也是正弦变化的。观察到它在旋转180°时磁通量为0，此后反向增加，可以推知
其中B_R即磁铁磁场大小，可视为一个定值。加入这一项磁通量的贡献后，电压方程改写为
这里假设输入的电压是一个有初相位的正弦信号，以方便我们将电流视为是呈正弦变化的
这一假定事实上等价与选择初始时刻的坐标系。
注意到电压方程等号左侧
等号两边的正弦模式和余弦模式的系数应对应相等，于是有
于是又有
从中可以解出电流强度
当转子磁矩与旋转磁场保持垂直时，有力矩
它随转子角速度ω变化的大致图像为
不难看到，当电动机刚启动，或者低速时，它可以输出一个非常大的扭矩。但随着转速的增大，电动机能输出的扭矩会逐渐降低。这是由于快速转动的转子，在线圈上会感应出一个反向的电动势，抵消了一部分电源输入的电压。这也正是电动车在高速下加速乏力的原因。此外，注意到电动机的输出功率为
当线圈的电阻 R 可以忽略时，有
不难看到，随着转速增大，电动机的输出功率也在逐渐降低。
（张朝阳推导三相电机的转速扭矩关系）
据了解，《张朝阳的物理课》于每周周日中午12时在搜狐视频直播，网友可以在搜狐视频APP“关注流”中搜索“张朝阳”，观看直播及往期完整视频回放；关注“张朝阳的物理课”账号，查看课程中的“知识点”短视频；此外，还可以在搜狐新闻APP的“搜狐科技”账号上，阅览每期物理课程的详细文章。
发表评论