宇宙的声音，《张朝阳的物理课》探索广义相对论下的线性引力波

如何表明广义相对论存在引力波？如何推导引力微扰的波动方程？5月26日和6月2日的12时，《张朝阳的物理课》第二百一十三和二百一十四期开播，搜狐创始人、董事局主席兼首席执行官、物理学博士张朝阳坐镇搜狐视频直播间，在介绍了电磁场的波动方程之后，运用弱场下的平直时空微扰法，推导出了度规的微扰所需满足的波动方程。

张朝阳介绍引力波

引力波及其历史回顾

引力波的存在是广义相对论的重要预言，但是想要证明其存在并不容易。

历史上早在1916年爱因斯坦就曾在与史瓦西的信件中提出应该存在“引力的波动”，类似于电磁波在电磁场中的传播。爱因斯坦提出，引力波以光速传播，并且在源处释放能量。

然而，当时的数学处理并不完善，使得这些波的物理实在性受到质疑。特别是广义相对论具有坐标变换不变的性质，一些物理学家认为引力波可能只是坐标系的虚假现象而非真实物理实体。爱丁顿在1922年对引力波的存在性表示怀疑，认为它们可能没有实际的能量和动量。

尽管存在这些质疑，物理学家们仍继续研究广义相对论和引力波的数学基础。到1950年代，在赫尔曼·邦迪（Hermann Bondi）、费利克斯·皮拉尼（Felix Pirani）和伊凡·罗宾逊（Ivor Robinson）的努力下，确定了引力波携带能量。

而Bondi在1957年通过Bondi news这一物理量，确切地描述了引力波如何从一个源中辐射出来，证明了引力波能够在没有坐标系依赖的情况下，携带出能量、动量和角动量。

雷纳·萨克斯（Rainer Sachs）与约瑟夫·波多尔斯基（Joseph Goldberg）在1962年的论文中，通过纽曼-彭罗斯形式（Newman-Penrose formali *** ）提出了Sachs-Goldberg公式，进一步规范了描述引力波的 *** 。

至此，人们已经确信在广义相对论的框架中确实存在引力波，引力波是时空弯曲效应的传播，传播速度等于光速。

在理论上确认引力波的存在性后，约瑟夫·韦伯（Joseph Weber）设计并建造了韦伯棒用于探测引力波。虽然他在1969年和1970年报告了引力波探测的结果，但这些结果后来被认为是噪声干扰，未能得到独立验证。

1974年，罗素·霍尔斯（Russell Hulse）和约瑟夫·泰勒（Joseph Taylor）发现了之一颗脉冲双星系统PSR B1913+16。通过对双星系统的长期观测，Hulse和Taylor发现这个系统的轨道半长轴衰减与广义相对论所预言的引力波耗散一致。这一发现间接证明引力波的存在。

到了1990年代，激光干涉引力波天文台（Laser Interferometer Gravitational-Wave Observatory，LIGO）项目启动，并于2002年开始运行。两个分别位于美国Hanford和Livingston的LIGO探测器使用迈克尔孙干涉仪的原理运行，每一个臂长约为4千米，光在其中通过法布里-珀罗腔来回反射，不仅极大地提高了激光的功率，也增大了有效的干涉距离，使得有效臂长达到1600千米。

LIGO完成了升级成为Advanced LIGO后，大大提高了探测引力波的灵敏度，于2015年9月14日成功探测到首个引力波事件GW150914，这是两个质量约为36倍和29倍太阳质量的黑洞合并所产生的引力波。这一事件验证了爱因斯坦的广义相对论，开启了引力波天文学的新时代。

爱因斯坦方程在弱场情形下会出现波动方程，张朝阳为我们展示了这一理论推导的过程。

在广义相对论中，不涉及到具体观测某一个物理现象时，并不一定需要找一些简单的情形来说明物理规律。一方面是因为广义相对论中会遇到各种阶数的张量，通常具体去计算分量会很复杂，分量的计算往往不会因简单的物理情形而简单。另一方面，假如能够熟练使用爱因斯坦求和规则，会使形式计算变得更加简单。

爱因斯坦方程在弱场情形下会出现波动方程，张朝阳为我们展示了这一理论推导的过程。

时空的微扰度规

对时空做微扰展开，背景时空为平直的闵可夫斯基时空，则度规写成

对于此背景时空上的张量须用闵氏度规进行升降

其中上指标的导数写法可简化推导过程中频繁出现的度规。当度规写成上指标的形式时有

这是因为我们要求在h的二阶无穷小之下，度规的迹为

因此在使用c=1和爱因斯坦求和约定之后，无源的波动方程的形式为

将之展开，得到

张朝阳介绍波动方程的四维写法

我们知道电磁场中的矢势和标势在满足洛伦兹规范条件下，麦克斯韦方程可写成这种波动方程的形式。在真空中，电场和磁场同样要满足这个波动方程，预言了电磁波。因此若将引力微扰写成上述形式的波动方程，则表示存在引力波，并在时空中传播。（严格来说，须证明在时空的类光无穷远处存在能量、动量和角动量的传播。）

平直时空微扰下的无源爱因斯坦场方程

现在，我们将微扰的度规代入到爱因斯坦场方程中，得到微扰度规的运动方程。

首先，将微扰度规代入到克氏符中，并保留到h的一阶

接着，将克氏符代入到黎曼曲率张量中，并保留到h的一阶

张朝阳推导黎曼曲率张量的微扰

由于克氏符本身就是h的一阶小量，两个克氏符相乘必定是h的二阶小量，所以不需要考虑黎曼曲率张量中的两个克氏符相乘项

进一步缩并得到里奇张量

代入克氏符表达式

其中h表示度规微扰的迹

我们得到里奇张量为

将里奇张量缩并，并保留到h的一阶小量，可得到曲率标量

此时的无源爱因斯坦场方程为

爱因斯坦场方程给出的度规微扰所满足的运动方程相当复杂，并不能直接看出波动方程的性质。

坐标规范条件与波动方程

在广义相对论中的描述中，张量不会依赖于坐标系的选取，但我们可以借助于特殊坐标系的选取，进一步化简所要求解的方程。在引力波问题的理论计算中，人们一般取谐和规范条件（harmonic gauge condition），选出直角坐标系（t，x，y，z）。这个条件写为

这里的导数算符和达朗贝尔算符与度规g适配，而非与平直时空的度规η适配。将上述条件写成平直时空的微扰形式，保留到 h 的一阶，得到

对最后一等号的左边用度规η去缩并，得到

即

我们可以定义一个新的变量

其中

将谐和规范条件表述为

这就是线性引力论的洛伦兹规范条件。

为计算方便，我们先把洛伦兹规范条件写为

并代入到无源爱因斯坦场方程中，得到

对比

上述无源爱因斯坦场方程的最终形式为

这就是闵氏时空下的波动方程。

张朝阳推导出波动方程

物理课的内容补充

在具体求解此波动方程时，需注意到冗余的规范条件还存在4个，这可以认为来自于对爱因斯坦张量的比安基恒等式

在此4个方程中会告诉我们G的0ν分量是不会演化的，这称之为哈密顿约束和动量约束。

而在线性引力波中，这会表现为洛伦兹规范条件还存在多余的4个自由度。在做无穷小坐标变换时

度规变换为

将微扰度规的变换写为

洛伦兹规范条件作用上去后得到

也就是说，只要有

那么洛伦兹规范条件同样会满足，这就会额外多4个约束条件。最后，引力波只会留下2个自由度。

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